jueves, 5 de julio de 2012


PERMUTACIONES
1.      ¿cuantas diferentes quintas  de baloncesto pueden formarse con 7 jugadores disponibles  para jugar cualquier posición?

n Pr = n (n-1) (n-2) . . . n-r +1          n-r+1=7-5+1=3
7 P5 =7(6)(5)(4)(3)=2520

Se pueden formar 2520 quintas diferentes.

2.       En una empresa,  5 ejecutivos asisten a una junta donde hay 9 sillas. Calcula de cuantas formas pueden ser ocupadas las sillas.
n Pr = n!                                  Sustituimos con:
         (n-r)!                                  n=9    r=5
               P5=  9!   = 9(8) (7)(6)(5)(4) = 15120
                        (9-5)!                 4!
                Las sillas pueden ocuparse de 15120 maneras.
3.- Determina cuantas combinaciones de $5 con las siguientes monedas $1,$2,$3,$4 y $5 sin repetir ninguna moneda.
nPr= n!                    Sustituimos con:                       5P5=5!=5 (4)(3)(2)(1) = 120
                                            n=5
Pueden formarse 120 combinaciones.
4.- En una familia con 7 integrantes tienes una mesa e 3 lugres. ¿Cuantas formas de combinarse en las sillas tienen?
nPr=   n!           Sustituimos:
        (n-n)           n=7    r =3
7p3=  7!    =      7!  =   7 (6)(5)(4!) =   210
           (7-B)!      4!               210
Existen 210 formas diferentes de sentarse.
5.- calcula el número de permutaciones diferentes  que pueden formarse con las letras de la palabra “matemáticas”

Con la formula: P=    __ ___   n!___ 
                                     n,!n2n3! . . . . ng    
Sustituimos con:
n=11           P =     11     =  11 (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
n= 3                   3!2!2!                     3(2)(1)    2(1)        2(1)
n=2                                                     =11(5)(9)(4)(7)(6)(5)(4)
n=2                                                       = 1663200
Se pueden formar  1663200 palabras, no necesariamente con sentido común.
6.-  calcula el número de permutaciones diferentes que pueden formarse  con las letras de las palabras tomando todas a la vez.
 P=   n!                   P =6!     = 6 (5)(4)(3)(2)(1)
      n!n!n!ng          3!2!          3(2)(1)      2(1)
                                                  =6(5)(2)
                                                  =60
Sustituimos con:
n=6
n=3
n=2
Pueden formarse 60 palabras, algunas sin significado.
7.- tres mujeres y tres hombres se van a sentar de modo que sus lugares queden alternados. Calcula de cuantas formas pueden hacerlo si:
A) se sientan en una line recta
b) se sientan en forma circular.
a)2(3!3!)=2(6)(6)=72
si se sientan en línea recta lo pueden hacer de 72 formas.
b)2!3!=2(6)=12
si se sientan en una mesa circular lo pueden hacer de 12 formas.
8.-calcula de cuantas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa si.
a) pueden sentarse en cualquier forma
b) si dos personas determinadas no pueden sentarse juntos.
a) PC =(n-1)!
n= 8
PC= (8-1)!=7!=7(6)(5)(4)(3)(2)(1)
                  =5040
Las 8 personas pueden sentarse en 5040 formas
b)PC=6!2!= 6 (5)(4)(3)(2)(1)
                   =1140
Como en el tenemos el numero total de formas en  el que 7 personas se pueden sentar alrededor de una mesa y hacia dos de ellas no deben quedarse juntas entonces
5040-1440 = 3600 veces
9.- En una carrera maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses y 1 velga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, ¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera?
Total de corredores  12
Variaciones sin repetición:
V=  n! =  12!         = 12!  = 12  · 11 · 10 = 1320
      n-L     (12-3)!      9
Existen 1320 formas de ocupar el pódium.
10.- de cuantas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería.
Tomamos en cuenta solo a 10 jugadores
P ₁₀= 10!
p₁₀=10 (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
p= 3628800 formas de colocarlos.



11.-Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tecnologico,¿ cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos?
Solución: n = 14, r = 5
                                           14p5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
                                                       = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
                                                       = 2002 grupos


Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?
, Solución: n = 11, r = 5
               11p5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5! 
                        = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! 
                         = 462 maneras de invitarlos









COMBINACIONES:
1.- En una clase de 35 alumnos se quiere elegir a un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités  diferentes se pueden formar?
nCr= nPr
            r!
₃₅C= 35(34)(33)= 6545
             3(2)(1)
2.- en una maquiladora se presentan a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres.  ¿De cuantas formas el jefe de personal puede hacer la selección si únicamente puede controlar  a 6 hombres y 3 mujeres?
(nr)=nCr =    n!                 n=9           n=5
                    (n-r)!r)           r=6            r=3
C·C=        9!               .           5!
                 (9-6)!6!                 (5-3)!3!
             = 9(8)(7)(6!)  . 5(4)(3!) = 840
                 3(2)(1)(6!)    2 (1)(3!)
Esos 6 hombres y 3 mujeres pueden ser contrataos de 840 formas.









3.- un alumno de enseñanza media superior tiene 7 libros de física y 5 de matemáticas. Calcula de cuantas maneras se puede ordenar 3 libros de física 2 de matemáticas en un librero.
Posibles combinaciones de libros de física.
C =       7!       =   7(6)(5)(4!) =    210 =   35
           (7·3)!3!         4!(3)(2)(1)        6
Posibles combinaciones de libros de matemáticas.
C =       5!        =    5(4)(3!)  = 5 (4)(3!)   =    20  =  10
                (5-2)!2!    3!  2(1)          3!2(1)          2
Posibles maneras de elegir los 5 libros
C·C=35 (10)=350
Existen 5 maneras diferentes de ordenar los libros:
5!= 5 (4)(3)(2)(1) =120
Combinaciones totales:
320 (120) = 42000
Hay 42000 formas de ordenar 3 libros de física y 2 de matemáticas de un total de 7 física y 2 de matemáticas.
4.-Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De Cuantas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
a)
10C7 = 10.9.8= (3 .2) = 120 Maneras.
b)
6C7 = 6 . 5 . 4= (3. 2) = 20 maneras.

5.-Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?
 hay un total de 25V5 = 25 . 24 = 600 billetes diferentes.

6.-A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuantas formas podrá hacerse si:
1. todos son elegibles;
2. un físico particular ha de estar en esa comisión;
1.-  5C2 = 10 grupos de 2 matemáticos, y 7C3 = 35 grupos de 3 físicos.
Existen (10) ( 35) = 350 comisiones posibles.
2. existen 5C2 = 10 grupos de 2 matemáticos,
6C2 = 15 grupos de 3 físicos. Así, se pueden formar ( 10 )( 15) = 150 comisiones.

7.-¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,2,3… ,9.
1. permitiendo repeticiones;
obteniéndose un total de
 9 . 103 = 9000 números posibles.

8.-En un grupo de 10 amigos, ¿cuántas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse al año?
365 dias    10 amigos
V 365R10 = 3650




9.-Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuantas maneras podrán llegar a la meta? (Pueden llegar juntos)
Hay varias posibilidades:
Si llegan los tres juntos, entonces solo hay 1 posibilidad
Si llegan dos juntos, existen 3C2
 P3 = 2       3 . 2 = 6 posibilidades. De qe lleguen dos juntos
3! = 6 posibilidades de llegar solos
Existe un total de 13 maneras distintas de llegar

10.-¿De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?
4 lugares
10 personas
Por lo tanto, hay 10V4 = 10!=6! = (10) ( 9) ( 8) ( 7) = 5040
11.-Un grupo  de estudiantes están jugando un nuevo juego el cual consiste en acertar 6 números naturales a elegir entre el 1 y 49. Cuantas posibles combinaciones habra si queremos acertar 6 números de 49 posibles independientes del orden en que los elijamos

n=49r=6

49C = 49!
            6! 43! = 13, 983,816  posibles combinaciones

12.- Rodrigo tiene 9 amigos y desea invitarlos a cenar, pero solo puede invitar a 6 simultáneamente ¿Cuántos grupos distintos de invitados puede tener?
n=9r=6

9C6=   9!
         6!3! = 84 grupos distintos pueden formarse
DISTRIBUCION NORMAL
1.- Las solicitudes  de préstamos en el banco BANAMEX tiene  una media de $80,000 y una desviación estándar de$30,000.Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que el monto que se solicite sea mayor a los $90,000?
P(x>90 000)
P(x>90 000) = 1 - .6179=  .3821













2.- Pedro realizo muchos ejercicios de matemáticas qe su maestro le dejó durante el semestre, de acuerdo con sus resultado a la hora de calificar existe una  variable aleatoria que tiene la distribución normal con µ=200 y σ= 80. Calcular la probabilidad que de entre 280 y 300 de sus ejercicios hayan sido correctos
P ( 280 >x<300)

Z
,05
1.25
.3944
.5000+.3944 = 0.8944



3.-¿Cual es la probabilidad de que la un jugador de basqetbool mida entre 2.20 y 2.50 metros? si una variable aleatoria tiene la distribución normal de µ=2.35 y σ = 2.6
P( 2.50 < x >2.20)
Z
.05
0.057
.5199
0.057
.5199
P( 2.50 < x >2.20) = .5199+.5199 = 1.0398







4. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva
μ = 40 y σ = 6.3
a) más de 32 meses
P(X > 32) = 1 - [(32 – 40)/6.3 ] = 1 - [-1.27 ] = 1 – 0.1021 = 0.8979




b) menos de 28 meses
P(X <28) = [28 – 40)/6.3] = [-1.90] = 0.0284






c) entre 37 y 49 meses
Sin título2.pngP(37 < X < 49) = [49 – 40)/6.3 ] - [(37 – 40)/6.3 ] = [1.43 ] - [-0.48 ] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065

















5. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitro por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros,
μ = 200 y σ = 15
a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
P(X > 224) = 1 - [(224 – 200)/15 ] = 1 - [1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548






b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
P(191 < X < 209) = [209 – 200)/15 ] - [(191 – 200)/15 ]= [0.60 ] - [-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514




c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas?
P(X > 230) = 1 - [(230 – 200)/15 ] = 1 - [2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228
Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23




6. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.
μ = 24 y σ = 3.8
a) ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
P(X > 30) = 1 - [(30 – 24)/3.8 ] = 1 - [1.58 ] = 1 – 0.9428 = 0.0572





 b) Si la oficina abre a las 9:00 am y él sale diario de su casa a las 8:45 am, ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo?
P(X > 15) = 1 - [(15 – 24)/3.8 ] = 1 - [-2.37 ] = 1 – 0.0089 = 0.9911






7. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.
μ = 10 y σ = 2
P3 Área = 0.03 ( Z ) = 0.03 Z = -1.88
x = Zσ + μ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24





8. una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo más próximo
μ = 15.90 y σ = 1.5
a) ¿qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por hora?
P(13.75 < X < 16.22) = [16.22 – 15.90)/1.5 ] - [(13.75 – 15.90)/1.5 ]
=  [0.21] - [- 1.43] = 0.5845 – 0.0759 = 0.5086
b) ¿ el 5% más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?
P95 Área = 0.95 ( Z ) = 0.95 Z = 1.645
x = Zσ + μ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37







9. La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos.
a) ¿Qué proporción de estos componentes excede 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tracción ?
μ = 10 000 y σ = 100 kg
P(X > 10150) = P(X > 10150)       z= [(10150 – 10000)/100]    z = 1.5
50000-.4332=.0668


Z
0.00
1.5
.4332









Sin título14.png10. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?
P(X < 95) = [(95 – 115)/12]= [-1.67] = 0.0478
Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29



11.-De 31 productos de una farmacia cuál es la probabilidad de que 20salgan defectuosos, si el 50% de los productos normalmente son defectuosos.
P(X=20) = 3.97%
n = 31          P =50%                    Q =50%


Z1=(19.5-15.5)/2.78 = 1.43Z2= (20.5-15.5)/2.78= 1.79

      P(X=20) = 1.43<Z<1.79) = 0.4633-0.4236 = 3.97 %




12 Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio?

P(X> 24.5horas)= 4.85%
μ = 24 horas de duración
O = 3 horas
n = 100   pilas


Z=1.6  P=0.5- 0.4515=4.85%







DISTRIBUCION BINOMIAL
1.-Retomando el experimento de procrear 3 hijos , y suponiendo que la probabilidad de engendrar un hijo varon es 0.5, detrerminamos la  probabilidad de que el numero de varones sea
a)0   b)1   c)2    d)3
inciso a)
inciso b)
inciso c)
inciso d)






2.- según el censo de población de 1990 el 90% de la población  mexicana  e 5 años de edad y mas , profesa la religión católica , y el resto , otra o ninguna. Si elegimos  al azar 4 personas de 5 años de edad o mas determina la probabilidad  de que  , entre los 4  sena católicos
a)0  b)1  c)2  d)3 e)4
inciso a)
Inciso b)
inciso c)
                    
Inciso d)
Inciso e)



3.-La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
(4, 0.2)     p = 0.8 q = 0.2
P= (4C2) 0.82*0.22= .04=    6 * .64*.04= .1536

b)¿Y cómo máximo 2?
P=(4C0)0.80*0.24+(4C1)0.81*0.23+(4C2)0.82*0.22=0.1808
4.-La probabilidad de que un paciente  se recupere de una cierta enfermedad es 40% si 15 contraen la enfermedad ¿Cuál es la probabilidad de que:
         a)Al menos 10 personas sobrevivan
                                     
                            p(x>10)=  1- 0.9662= 0.033

        b)Sobrevivan desde 3 hasta 8 personas

                                    p  (3 < x > 8 )  =  0.9050 – 0.0271 = 0.8779

         c)Sobrevivan exactamente 5 personas

                            p ( x = 5) = 0.4032 – 0.2173 = 0.1859
5.-La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
(10, .25)    p = .25       q = .75
P(x=3)= (10C3)(.25)3*(.75)7=.2502
P(al menos uno)= 1-(10C0)(.25)0*(.75)10=0.9437
6.-Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que  disfrutan de  buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a)Las cinco personas.
(5, .666)                    p = .666 q = 1/3
P(x=5)= (5C5)*(.666)5=.1310

b)Al menos tres personas.
P(x>3) = (5C3)(.66)3*(.33)2+(5C4)(.66)4*(.33)+(5C5)*(.66)5= 0.791

c)Exactamente dos personas.
P(X=2)= (5C2)(.66)2*(.33)3=0 .156


7.-Supóngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. El examen se aprueba contestando por lo menos 9 preguntas si se lanza una moneda al aire para decidir el valor de verdad de cada pregunta ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
 
         P( x < 9)= 1 -- .06964 = 0.3036
8.-Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a)Ningún paciente tenga efectos secundarios.
(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
P(X=0) = (5C0)*.975 =0.8587
b)Al menos dos tengan efectos secundarios.
P(X=>2)= 1-[(5C2)(.97)5+(5C1) (.03) (.97)4]= 0.00847




9.-Se compran 31 productos para ser distribuidos en un pequeño poblado De los 31 productos cuál es la probabilidad de que  20 salgan defectuosos, si el
50% de los productos normalmente sale defectuoso.
 P(X=20) = 3.97%
n = 31
P = 50%
Q = 50%
Z1 = (19.5-15.5)/2.78 = 1.43   Z2= (20.5-15.5)/2.78= 1.79
P(X=20) = P( 1.43<Z<1.79) = 0.4633-0.4236 = 3.97%
10.-Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5 q = 0.5
P= (4C3)(.5)3*(.5)+(4C4)(.5 4= 0.3125