PERMUTACIONES
1.
¿cuantas diferentes
quintas de baloncesto pueden formarse
con 7 jugadores disponibles para jugar
cualquier posición?
n Pr = n (n-1) (n-2) . . . n-r
+1 n-r+1=7-5+1=3
7 P5 =7(6)(5)(4)(3)=2520
Se pueden formar 2520 quintas diferentes.
2.
En una empresa, 5 ejecutivos asisten a una junta donde hay 9
sillas. Calcula de cuantas formas pueden ser ocupadas las sillas.
n Pr = n! Sustituimos
con:
(n-r)! n=9 r=5
P5= 9! =
9(8) (7)(6)(5)(4) = 15120
(9-5)! 4!
Las sillas pueden ocuparse de
15120 maneras.
3.- Determina cuantas
combinaciones de $5 con las siguientes monedas $1,$2,$3,$4 y $5 sin repetir
ninguna moneda.
nPr= n! Sustituimos con: 5P5=5!=5 (4)(3)(2)(1) =
120
n=5
Pueden formarse 120 combinaciones.
4.- En una familia con
7 integrantes tienes una mesa e 3 lugres. ¿Cuantas formas de combinarse en las
sillas tienen?
nPr= n! Sustituimos:
(n-n) n=7 r =3
7p3=
7! = 7!
= 7 (6)(5)(4!) = 210
(7-B)! 4! 210
Existen 210 formas diferentes de
sentarse.
5.- calcula el número
de permutaciones diferentes que pueden
formarse con las letras de la palabra “matemáticas”
Con la formula: P= __ ___
n!___
n,!n2n3! .
. . . ng
Sustituimos con:
n=11 P = 11
= 11 (10⁵)(9)(8⁴)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
n₁= 3 3!2!2! 3(2)(1) 2(1)
2(1)
n₂=2
=11(5)(9)(4)(7)(6)(5)(4)
n₃=2 = 1663200
Se pueden formar 1663200 palabras, no necesariamente con
sentido común.
6.- calcula el número de permutaciones diferentes
que pueden formarse con las letras de
las palabras tomando todas a la vez.
P= n! P =6!
= 6 (5)(4₂)(3)(2)(1)
n₁!n₂!n₃!ng 3!2! 3(2)(1) 2(1)
=6(5)(2)
=60
Sustituimos con:
n=6
n₁=3
n₂=2
Pueden formarse 60 palabras, algunas
sin significado.
7.- tres mujeres y
tres hombres se van a sentar de modo que sus lugares queden alternados. Calcula
de cuantas formas pueden hacerlo si:
A) se sientan en una
line recta
b) se sientan en forma
circular.
a)2(3!3!)=2(6)(6)=72
si se sientan en línea recta lo
pueden hacer de 72 formas.
b)2!3!=2(6)=12
si se sientan en una mesa circular
lo pueden hacer de 12 formas.
8.-calcula de cuantas
formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa si.
a) pueden sentarse en
cualquier forma
b) si dos personas
determinadas no pueden sentarse juntos.
a) PC =(n-1)!
n= 8
PC= (8-1)!=7!=7(6)(5)(4)(3)(2)(1)
=5040
Las 8 personas pueden sentarse en
5040 formas
b)PC=6!2!= 6 (5)(4)(3)(2)(1)
=1140
Como en el tenemos el numero total
de formas en el que 7 personas se pueden
sentar alrededor de una mesa y hacia dos de ellas no deben quedarse juntas
entonces
5040-1440 = 3600 veces
9.- En una carrera
maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses
y 1 velga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos,
¿cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera?
Total de corredores 12
Variaciones sin repetición:
V=
n! = 12! = 12!
= 12 · 11 · 10 = 1320
n-L (12-3)! 9
Existen 1320 formas de ocupar el
pódium.
10.- de cuantas formas
pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol teniendo en cuenta que
el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería.
Tomamos en cuenta solo a 10
jugadores
P ₁₀= 10!
p₁₀=10
(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)
p= 3628800 formas de colocarlos.
11.-Si se cuenta con 14 alumnos
que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tecnologico,¿ cuantos
grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada
uno de ellos?
Solución: n = 14, r = 5
14p5
= 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos
Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que
tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?
, Solución: n = 11, r = 5
11p5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5!
= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5!
= 462 maneras de invitarlos
COMBINACIONES:
1.- En una clase de 35
alumnos se quiere elegir a un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
nCr= nPr
r!
₃₅C₃=
35(34)(33)= 6545
3(2)(1)
2.- en una maquiladora
se presentan a solicitar trabajo 9 hombres y 5 mujeres. ¿De cuantas formas el jefe de personal puede
hacer la selección si únicamente puede controlar a 6 hombres y 3 mujeres?
(nr)=nCr = n!
n=9 n=5
(n-r)!r) r=6 r=3
₉C₆·₅C₃= 9! . 5!
(9-6)!6! (5-3)!3!
= 9(8)(7)(6!) . 5(4)(3!) = 840
Esos 6 hombres y 3 mujeres pueden
ser contrataos de 840 formas.
3.- un alumno de
enseñanza media superior tiene 7 libros de física y 5 de matemáticas. Calcula
de cuantas maneras se puede ordenar 3 libros de física 2 de matemáticas en un
librero.
Posibles combinaciones de libros de
física.
₇C₃
= 7! =
7(6)(5)(4!) = 210 = 35
(7·3)!3! 4!(3)(2)(1) 6
Posibles combinaciones de libros de
matemáticas.
₅C₂
= 5! =
5(4)(3!) = 5 (4)(3!) =
20 = 10
(5-2)!2! 3!
2(1) 3!2(1) 2
Posibles maneras de elegir los 5
libros
₇C₃·₅C₂=35 (10)=350
Existen 5 maneras diferentes de ordenar los
libros:
5!= 5 (4)(3)(2)(1) =120
Combinaciones totales:
320 (120) = 42000
Hay 42000 formas de ordenar 3 libros de física
y 2 de matemáticas de un total de 7 física y 2 de matemáticas.
4.-Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De
Cuantas maneras puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son obligatorias?
a)
10C7 = 10.9.8= (3 .2) =
120 Maneras.
b)
6C7 = 6 . 5 . 4= (3.
2) = 20 maneras.
5.-Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes
diferentes habrá que imprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de
origen y destino?
hay un
total de 25V5
= 25 . 24 = 600 billetes diferentes.
6.-A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión
de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuantas formas podrá hacerse si:
1. todos son elegibles;
2. un físico particular ha de estar en esa
comisión;
1.- 5C2 = 10 grupos de 2 matemáticos, y 7C3 = 35 grupos de 3 físicos.
Existen (10) ( 35) = 350 comisiones
posibles.
2. existen 5C2
= 10 grupos de 2 matemáticos,
6C2 = 15
grupos de 3 físicos. Así, se pueden formar ( 10 )( 15) = 150 comisiones.
7.-¿Cuantos números de 4 dígitos se pueden formar
con las cifras 0,1,2,3… ,9.
1. permitiendo repeticiones;
obteniéndose un total de
9 . 103
= 9000 números posibles.
8.-En un grupo de 10 amigos, ¿cuántas distribuciones de sus fechas de cumpleaños
pueden darse al año?
365 dias
10 amigos
V 365R10 = 3650
9.-Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuantas maneras podrán
llegar a la meta? (Pueden llegar juntos)
Hay varias posibilidades:
Si llegan los tres juntos, entonces solo hay 1
posibilidad
Si llegan dos juntos, existen 3C2
P3 = 2 3 .
2 = 6 posibilidades. De qe lleguen dos juntos
3! = 6 posibilidades de llegar solos
Existe un total de 13 maneras distintas de
llegar
10.-¿De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4
sitios disponibles?
4 lugares
10 personas
Por lo tanto, hay 10V4 =
10!=6! = (10) ( 9) ( 8) ( 7) = 5040
11.-Un grupo
de estudiantes están jugando un nuevo juego el cual consiste en acertar 6 números naturales a elegir entre el 1 y
49. Cuantas posibles combinaciones habra si queremos acertar 6 números de 49
posibles independientes del orden en que los elijamos
n=49r=6
49C6 =
49!
6! 43! =
13, 983,816 posibles combinaciones
12.- Rodrigo
tiene 9 amigos y desea invitarlos a cenar, pero solo puede invitar a 6
simultáneamente ¿Cuántos grupos distintos de invitados puede tener?
n=9r=6
9C6= 9!
6!3!
= 84 grupos distintos pueden formarse
DISTRIBUCION NORMAL
1.- Las solicitudes de préstamos en el banco BANAMEX tiene una media de $80,000 y una desviación
estándar de$30,000.Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la
probabilidad de que el monto que se solicite sea mayor a los $90,000?
P(x>90 000)
P(x>90 000) = 1 - .6179=
.3821
2.- Pedro realizo muchos ejercicios
de matemáticas qe su maestro le dejó durante el semestre, de acuerdo con sus
resultado a la hora de calificar existe una
variable aleatoria que tiene la distribución normal con µ=200 y σ= 80.
Calcular la probabilidad que de entre 280 y 300 de sus ejercicios hayan sido
correctos
P (
280 >x<300)
Z
|
,05
|
1.25
|
.3944
|
.5000+.3944 =
0.8944
3.-¿Cual es la probabilidad de que la un jugador de basqetbool
mida entre 2.20 y 2.50 metros? si una variable aleatoria tiene la distribución
normal de µ=2.35 y σ = 2.6
P( 2.50 < x >2.20)
Z
|
.05
|
0.057
|
.5199
|
0.057
|
.5199
|
P( 2.50 < x >2.20) = .5199+.5199 = 1.0398
4. Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio
de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se
enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales ratones se
distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la
probabilidad de que un ratón dado viva
μ = 40 y σ = 6.3
a) más de 32 meses
P(X > 32) = 1 - [(32 – 40)/6.3 ] = 1 - [-1.27 ] = 1 – 0.1021 = 0.8979
b) menos de 28
meses
P(X <28) = [28 – 40)/6.3] = [-1.90] = 0.0284
c) entre 37 y 49
meses
P(37 < X < 49) = [49 – 40)/6.3 ] - [(37 – 40)/6.3 ] = [1.43 ] -
[-0.48 ] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065
5. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un
promedio de 200 mililitro por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye
normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros,
μ = 200 y σ = 15
a) ¿qué fracción
de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
P(X > 224) = 1 - [(224 – 200)/15 ] = 1 - [1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548
b) ¿cuál es la
probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
P(191 < X < 209) = [209 – 200)/15 ] - [(191 – 200)/15 ]= [0.60 ] -
[-0.60 ] = 0.7257 – 0.2743 =0.4514
c) ¿cuántos vasos
probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las
siguientes 1000 bebidas?
P(X > 230) = 1 - [(230 – 200)/15 ] = 1 - [2.00 ] = 1 – 0.9772 = 0.0228
Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23
6. Un abogado va todos los días de su casa en los suburbios a su oficina
en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es 24
minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la
distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.
μ = 24 y σ = 3.8
a) ¿cuál es la
probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
P(X > 30) = 1 - [(30 – 24)/3.8 ] = 1 - [1.58 ] = 1 – 0.9428 = 0.0572
b) Si la oficina abre a las 9:00 am y él sale
diario de su casa a las 8:45 am, ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al
trabajo?
P(X > 15) = 1 - [(15 – 24)/3.8 ] = 1 - [-2.37 ] = 1 – 0.0089 = 0.9911
7. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una
desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los
motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a
reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la
garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una
distribución normal.
μ = 10 y σ = 2
P3 Área = 0.03 ( Z ) = 0.03 Z = -1.88
x = Zσ + μ = (-1.88)(2) + 10 = 6.24
8. una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por
hora con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente
de forma normal y se pagan al centavo más próximo
μ = 15.90 y σ = 1.5
a) ¿qué porcentaje
de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por hora?
P(13.75 < X < 16.22) = [16.22 – 15.90)/1.5 ] - [(13.75 – 15.90)/1.5
]
= [0.21] - [- 1.43] = 0.5845 –
0.0759 = 0.5086
b) ¿ el 5% más
alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad?
P95 Área = 0.95 ( Z ) = 0.95 Z = 1.645
x = Zσ + μ = (1.645)(1.5) + 15.90 = 18.37
9. La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se
distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro
cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado.
Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más
cercanos.
a) ¿Qué proporción
de estos componentes excede 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de
resistencia a la tracción ?
μ = 10 000 y σ = 100 kg
P(X > 10150) = P(X > 10150)
z= [(10150 – 10000)/100] z =
1.5
Z
|
0.00
|
1.5
|
.4332
|
10. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen
aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar
de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos
estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras
calificaciones?
P(X < 95) = [(95 – 115)/12]= [-1.67] = 0.0478
Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29
11.-De 31 productos de una farmacia cuál es la
probabilidad de que 20salgan defectuosos, si el 50% de los productos
normalmente son defectuosos.
P(X=20) = 3.97%
n
= 31 P =50% Q =50%
Z1=(19.5-15.5)/2.78 = 1.43Z2= (20.5-15.5)/2.78=
1.79
P(X=20) = 1.43<Z<1.79) =
0.4633-0.4236 = 3.97 %
12 Si la vida media de operación de una pila de linterna es de
24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es
la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que
se desvíe por más de 30 minutos del promedio?
P(X> 24.5horas)= 4.85%
μ = 24 horas de
duración
O = 3 horas
n =
100 pilas
Z=1.6 P=0.5- 0.4515=4.85%
DISTRIBUCION BINOMIAL
1.-Retomando
el experimento de procrear 3 hijos , y suponiendo que la probabilidad de
engendrar un hijo varon es 0.5, detrerminamos la probabilidad de que el numero de varones sea
a)0 b)1
c)2 d)3
inciso a)
inciso b)
inciso c)
inciso c)
inciso d)
2.- según
el censo de población de 1990 el 90% de la población mexicana
e 5 años de edad y mas , profesa la religión católica , y el resto ,
otra o ninguna. Si elegimos al azar 4
personas de 5 años de edad o mas determina la probabilidad de que
, entre los 4 sena católicos
a)0 b)1
c)2 d)3 e)4
inciso a)
Inciso b)
inciso c)
Inciso d)
Inciso e)
3.-La
última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80%
de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la
lectura:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2
personas?
(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
P= (4C2) 0.82*0.22= .04= 6 * .64*.04= .1536
b)¿Y cómo máximo 2?
P=(4C0)0.80*0.24+(4C1)0.81*0.23+(4C2)0.82*0.22=0.1808
4.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad es 40%
si 15 contraen la enfermedad ¿Cuál es la probabilidad de que:
a)Al menos 10 personas sobrevivan
p(x>10)= 1- 0.9662= 0.033
b)Sobrevivan desde 3 hasta 8 personas
p (3 < x > 8 ) = 0.9050 – 0.0271 = 0.8779
c)Sobrevivan exactamente 5 personas
p ( x = 5) = 0.4032
– 0.2173 = 0.1859
5.-La probabilidad de que un hombre acierte en el
blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte
exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo
menos en una ocasión?
(10,
.25) p = .25 q = .75
P(x=3)= (10C3)(.25)3*(.75)7=.2502
P(al menos uno)=
1-(10C0)(.25)0*(.75)10=0.9437
6.-Un
agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una
persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad
de que, transcurridos 30 años, vivan:
a)Las cinco
personas.
(5, .666) p = .666 q = 1/3
P(x=5)=
(5C5)*(.666)5=.1310
b)Al menos tres
personas.
P(x>3) =
(5C3)(.66)3*(.33)2+(5C4)(.66)4*(.33)+(5C5)*(.66)5=
0.791
c)Exactamente dos
personas.
P(X=2)= (5C2)(.66)2*(.33)3=0 .156
7.-Supóngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o
verdadero. El examen se aprueba contestando por lo menos 9 preguntas si se
lanza una moneda al aire para decidir el valor de verdad de cada pregunta ¿Cuál
es la probabilidad de aprobar el examen?
P( x < 9)= 1 -- .06964 = 0.3036
8.-Un laboratorio afirma que una droga causa de
efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para
contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los
que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a)Ningún paciente tenga efectos secundarios.
(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
P(X=0) = (5C0)*.975 =0.8587
b)Al menos dos tengan efectos
secundarios.
P(X=>2)= 1-[(5C2)(.97)5+(5C1) (.03) (.97)4]= 0.00847
9.-Se compran 31
productos para ser distribuidos en un pequeño poblado De los 31 productos cuál
es la probabilidad de que 20 salgan
defectuosos, si el
50% de los productos normalmente sale
defectuoso.
P(X=20) = 3.97%
n = 31
P = 50%
Q = 50%
Z1 = (19.5-15.5)/2.78 = 1.43 Z2= (20.5-15.5)/2.78= 1.79
P(X=20) = P( 1.43<Z<1.79) =
0.4633-0.4236 = 3.97%
10.-Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la
probabilidad de que salgan más caras que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5 q = 0.5
P= (4C3)(.5)3*(.5)+(4C4)(.5 4=
0.3125